Jeune attaquant du Gym qui a la Mentalità Nissarda tatouée sur le coeur, Alexy Bosetti est un serial buteur dans toutes les catégories de jeune du club. Vainqueur de la Coupe Gambardella en 2012, il est intégré au groupe pro de Claude Puel lors de la saison 2012/2013. Il devra se contenter du rôle de joker pour sa première saison, marquant ses premiers buts en pro seulement en coupe.
Après 2 saisons dans le groupe pro sans jamais être un titulaire indiscutable (10 buts en 48 matches), et en manque de temps de jeu, il est prêté à Tours (L2) pour la saison 2015/2016, sans option d'achat. Au bout d'une demi-saison, avec 9 matchs pour 1 but, le joueur préfère quitter Tours pour un autre prêt de 6 mois en Norvège, à Sarpsborg 08 (D1). Un prêt qui tournera court également, ne jouant qu'une seule rencontre avec le club norvégien (pour 1 but). Il revient à Nice en 2016/2017.